สมการกำลังสองและพาราโบลา — 5 กับดักที่ข้อสอบเข้า ม.4 ชอบหลอก

สมการกำลังสองและกราฟพาราโบลาเป็นเนื้อหา ม.3 ที่ข้อสอบเข้า ม.4 นิยมนำมาออก เพราะต่อยอดได้หลายแบบ ทั้งแก้สมการ หาจุดยอด หาค่าสูงสุด–ต่ำสุด และโจทย์ปัญหา ปัญหาคือหลายข้อ "ดูง่าย" แต่มีกับดักเล็ก ๆ ที่ทำให้เสียคะแนนทั้งที่รู้วิธี บทความนี้ทีมงานรวบรวมจุดที่โจทย์ชอบหลอก พร้อมตัวอย่างที่แต่งขึ้นใหม่และตรวจคำตอบทุกข้อ

วิธีอ่านให้ได้ประโยชน์ที่สุดคือ อ่านโจทย์ตัวอย่างแต่ละข้อแล้วลองทำเองก่อนดูวิธีคิด ถ้าทำได้ตรงกับคำตอบ ให้ดูต่อว่าวิธีของตัวเองหลบกับดักได้เพราะอะไร แต่ถ้าพลาด ให้จดไว้ว่าพลาดตรงขั้นไหน เพราะกับดักเหล่านี้มักวนกลับมาในรูปโจทย์ที่เปลี่ยนตัวเลขเล็กน้อย

กับดักที่ 1: หารทั้งสองข้างด้วยตัวแปร

โจทย์: จงหาคำตอบของสมการ $x^2 = 5x$

เด็กหลายคนหารทั้งสองข้างด้วย $x$ ได้ $x = 5$ แล้วตอบทันที ซึ่ง ตกคำตอบไป 1 ตัว เพราะการหารด้วย $x$ ทำได้เฉพาะเมื่อ $x \neq 0$

วิธีที่ถูกคือย้ายข้างให้อีกข้างเป็นศูนย์ แล้วแยกตัวประกอบ

$$\begin{aligned} x^2 - 5x &= 0 \\ x(x - 5) &= 0 \\ x = 0 \;&\text{หรือ}\; x = 5 \end{aligned}$$

กับดักที่ 2: ผลคูณไม่เท่ากับศูนย์

โจทย์: จงหาคำตอบของสมการ $(x - 3)(x + 2) = 6$

คำตอบผิดที่พบบ่อยคือ "$x - 3 = 6$ หรือ $x + 2 = 6$" ได้ $x = 9$ หรือ $x = 4$ ซึ่งใช้ไม่ได้ เพราะหลัก "ตัวใดตัวหนึ่งต้องเป็นศูนย์" ใช้ได้ เฉพาะเมื่อผลคูณเท่ากับศูนย์ เท่านั้น

ต้องกระจายแล้วจัดรูปใหม่

$$\begin{aligned} x^2 - x - 6 &= 6 \\ x^2 - x - 12 &= 0 \\ (x - 4)(x + 3) &= 0 \end{aligned}$$

ได้ $x = 4$ หรือ $x = -3$

ตรวจ: $x = 4$ ได้ $(1)(6) = 6$ ✓ และ $x = -3$ ได้ $(-6)(-1) = 6$ ✓ ส่วน $x = 9$ ได้ $(6)(11) = 66 \neq 6$ ✗

กับดักที่ 3: เครื่องหมายของจุดยอดและทิศการเปิดของกราฟ

กราฟ $y = a(x - h)^2 + k$ มี จุดยอดที่ $(h, k)$ และ

• ถ้า $a > 0$ กราฟหงาย มีค่าต่ำสุด $= k$
• ถ้า $a < 0$ กราฟคว่ำ มีค่าสูงสุด $= k$

จุดที่โดนหลอกบ่อยคือ เครื่องหมายของ $h$ เช่น

สังเกตว่า $(x + 1)^2$ เขียนได้เป็น $(x - (-1))^2$ จุดยอดจึงอยู่ที่ $x = -1$ ไม่ใช่ $x = 1$

ถ้าโจทย์ให้มาในรูป $y = ax^2 + bx + c$ ใช้สูตร $x = -\frac{b}{2a}$ หาแกนสมมาตร แล้วแทนค่าหา $y$ ตัวอย่าง: $y = 2x^2 - 8x + 3$

$$\begin{aligned} x &= -\frac{-8}{2(2)} = 2 \\ y &= 2(2)^2 - 8(2) + 3 = -5 \end{aligned}$$

จุดยอดคือ $(2, -5)$ กราฟหงาย ($a = 2 > 0$) จึงมีค่าต่ำสุดเท่ากับ $-5$ ตรวจได้โดยจัดรูป $2(x - 2)^2 - 5 = 2x^2 - 8x + 8 - 5 = 2x^2 - 8x + 3$ ✓

กับดักที่ 4: อ่านกราฟพาราโบลาให้ครบทุกจุดสำคัญ

โจทย์: กำหนดให้ $y = x^2 - 6x + 5$ จงหาจุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y และจุดยอด

• จุดตัดแกน X (ให้ $y = 0$): $x^2 - 6x + 5 = 0 \Rightarrow (x - 1)(x - 5) = 0$ ได้ $(1, 0)$ และ $(5, 0)$
• จุดตัดแกน Y (ให้ $x = 0$): $y = 5$ ได้ $(0, 5)$
• แกนสมมาตร: $x = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ ซึ่งอยู่กึ่งกลางระหว่าง 1 กับ 5 พอดี
• จุดยอด: $y = 9 - 18 + 5 = -4$ ได้ $(3, -4)$

ข้อสังเกตที่ช่วยตรวจคำตอบ: จุดยอดของพาราโบลาอยู่บนแกนสมมาตร และแกนสมมาตรอยู่กึ่งกลางระหว่างจุดตัดแกน X ทั้งสองจุดเสมอ (ถ้ามี)

กับดักที่ 5: ค่าดิสคริมิแนนต์ และคำตอบที่ต้องตัดทิ้ง

สำหรับ $ax^2 + bx + c = 0$ ค่า $D = b^2 - 4ac$ บอกจำนวนคำตอบที่เป็นจำนวนจริง

• $D > 0$: มี 2 คำตอบที่ต่างกัน
• $D = 0$: มีคำตอบเดียว (สองคำตอบที่ซ้ำกัน) กราฟแตะแกน X จุดเดียว
• $D < 0$: ไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง กราฟไม่ตัดแกน X

โจทย์: สมการ $x^2 - 6x + k = 0$ มีคำตอบซ้ำกัน จงหาค่า $k$

$D = (-6)^2 - 4(1)(k) = 36 - 4k = 0$ ได้ $k = 9$ ตรวจ: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ ✓ (ถ้าโจทย์ถามว่ามี 2 คำตอบที่ต่างกัน คำตอบคือ $k < 9$ ระวังเครื่องหมายอสมการ)

โจทย์ปัญหาที่ต้อง ตัดคำตอบทิ้ง: สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีความยาวมากกว่าความกว้าง 3 เซนติเมตร และมีพื้นที่ 40 ตารางเซนติเมตร จงหาความยาวรอบรูป

ให้ความกว้าง $= w$ จะได้ $w(w + 3) = 40 \Rightarrow w^2 + 3w - 40 = 0 \Rightarrow (w + 8)(w - 5) = 0$

ได้ $w = 5$ หรือ $w = -8$ แต่ความยาวติดลบไม่ได้ จึงตัด $-8$ ทิ้ง ความกว้าง 5 ซม. ความยาว 8 ซม. ความยาวรอบรูป $= 2(5 + 8) = 26$ ซม.

ตรวจ: $5 \times 8 = 40$ ✓ และ $8 - 5 = 3$ ✓

ทรงค่าสูงสุดที่ออกบ่อย

โจทย์: โยนลูกบอลขึ้นตรง ๆ ความสูง $h$ (เมตร) ที่เวลา $t$ (วินาที) เป็นไปตาม $h = 20t - 5t^2$ ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุดเท่าไร และตกกลับถึงพื้นเมื่อใด

$h = -5t^2 + 20t$ มี $a = -5 < 0$ กราฟคว่ำ ค่าสูงสุดอยู่ที่ $t = -\frac{20}{2(-5)} = 2$ วินาที ได้ $h = 20(2) - 5(2)^2 = 40 - 20 = 20$ เมตร

ถึงพื้นเมื่อ $h = 0$: $5t(4 - t) = 0$ ได้ $t = 0$ (ตอนเริ่มโยน) หรือ $t = 4$ วินาที คำตอบคือ สูงสุด 20 เมตร ถึงพื้นที่ 4 วินาที

อีกทรงที่ใช้หลักเดียวกัน: มีรั้วยาว 40 เมตร ล้อมที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า พื้นที่มากที่สุดเป็นเท่าไร ให้ด้านหนึ่งยาว $x$ อีกด้านยาว $20 - x$ พื้นที่ $= x(20 - x) = -x^2 + 20x$ มีค่าสูงสุดเมื่อ $x = 10$ ได้พื้นที่ $10 \times 10 = 100$ ตารางเมตร

ลองทำเอง 4 ข้อ

1. จงหาคำตอบของสมการ $x^2 = 3x$
2. จงหาคำตอบของสมการ $(x + 1)(x - 4) = 6$
3. กราฟ $y = -2(x - 1)^2 + 7$ มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเท่าไร ที่ $x$ เท่าใด
4. สมการ $x^2 + 4x + k = 0$ มีคำตอบซ้ำกัน จงหาค่า $k$

เฉลย 1) $x(x - 3) = 0$ ได้ $x = 0$ หรือ $3$ (อย่าลืม 0)  2) $x^2 - 3x - 10 = 0 \Rightarrow (x - 5)(x + 2) = 0$ ได้ $x = 5$ หรือ $-2$  3) $a = -2 < 0$ กราฟคว่ำ มีค่าสูงสุด $7$ ที่ $x = 1$  4) $16 - 4k = 0$ ได้ $k = 4$

ถ้าทำถูกทั้ง 4 ข้อโดยไม่พลาดกับดักเลย แปลว่าพื้นฐานเรื่องนี้แน่นพอจะไปต่อโจทย์ประยุกต์ที่ซับซ้อนขึ้นได้แล้ว แต่ถ้ายังพลาดข้อ 1 หรือข้อ 2 ให้กลับไปอ่านกับดักที่ 1 และ 2 อีกรอบ แล้วจดลงสมุดข้อผิดไว้ทวน

ทบทวนบทนี้ต่อด้วยแบบทดสอบฟรีหมวด ม.1–ม.3 (สอบเข้า ม.4) หรือดูหนังสือเตรียมสอบเข้า ม.4 ที่มีทรงโจทย์และเฉลยละเอียดได้ที่หน้าหนังสือ